Grundlagen
Eine Proposition ist das aussagenlogische Gegenstück eines Aussagesatzes. Propositionen werden in der Logik mit Variablen wie p und q repräsentiert.
Ein Junktor ist ein Operator über einer oder zwei Propositionen. Daher gibt es für die Kombination von Propositionen mit Junktoren zwei Möglichkeiten:
- Entweder es wird eine Proposition mit einem Junktor verknüpft. Von dieser Art gibt es genau einen Junktor, den Negator.
- Oder es werden zwei Propositionen durch einen Junktor miteinander verknüpft. Von dieser Art gibt es 16 Junktoren.
Die beiden Propositionen p und q sind voneinander unabhängig wahr ('w') oder falsch ('f'). Die beiden Propositionen ergeben vier logisch mögliche Kombinationen von Wahrheitswerten. Diese werden traditionell in der Reihenfolge wie in folgender Tabelle abgearbeitet.
| p | q | p Junktor q |
| w | w | . |
| w | f | . |
| f | w | . |
| f | f | . |
Die Wahrheit der komplexen Proposition (in der Tabelle durch einen Punkt vertreten) hängt sodann von der Kombination der Wahrheitswerte von p und q sowie von den Eigenschaften des Junktors ab, der die beiden jeweils zu einer komplexen Proposition verbindet. Von einiger methodologischer Bedeutung sind folgende Junktoren:
Negation
Die Negation einer Aussage ist ihre Kombination mit dem Negator (‘¬’ = ‘~’). Sie verwandelt ihren Wahrheitswert in sein Gegenteil. Z.B. ist
‘es regnet nicht’wahr genau dann, wenn ‘es regnet’ falsch ist. Die Wahrheitswerttafel ist daher die folgende:
| p | ¬ p |
| w | f |
| f | w |
Konjunktion
Die Konjunktion von zwei Aussagen ist ihre Verbindung mit ‘und’ (∧ oder &). Sie ist genau dann wahr, wenn jede von beiden wahr ist; andernfalls ist sie falsch. Z.B. ist die komplexe Aussage
‘der Präsident ist anwesend und der Kanzler ist abwesend’genau dann wahr, wenn einerseits der Präsident anwesend und andererseits der Kanzler abwesend ist. Ist es umgekehrt, oder sind sie beide da oder beide weg, ist die Konjunktion falsch. Die Wahrheitswerttafel ist daher die folgende:
| p | q | p ∧ q |
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | f |
Die Konjunktion stellt sich als Verknüpfung sozusagen von alleine ein, wenn eine Theorie mehr als eine Behauptung aufstellt oder wenn ein Begriff durch mehr als eine notwendige Bedingung definiert ist. Die Propositionen, die dann jede für sich gelten sollen, gelten miteinander konjunktiv.
Disjunktion
Die Disjunktion von zwei Aussagen (der Klarheit wegen auch Adjunktion genannt) ist ihre Verbindung durch ein inklusives ‘oder’ (∨). Sie ist genau dann wahr, wenn wenigstens eine der beiden Teilaussagen wahr ist; falsch ist sie nur, wenn jede der beiden Teilaussagen falsch ist. Z.B. ist die komplexe Aussage
‘wir fuhren nach Garmisch-Partenkirchen oder wir fuhren nach Berchtesgaden’sowohl dann wahr, wenn es zutrifft, daß wir nach Garmisch-Partenkirchen gefahren sind, als auch, wenn es zutrifft, daß wir nach Berchtesgaden gefahren sind; und wenn beides zutrifft, ist sie auch wahr. Nur wenn wir nach keinem der beiden Orte gefahren sind, ist die Disjunktion falsch. Die Wahrheitswerttafel ist daher die folgende:
| p | q | p ∨ q |
| w | w | w |
| w | f | w |
| f | w | w |
| f | f | f |
Implikation
Die Implikation (oder Subjunktion) von zwei Aussagen ist ihre Verbindung durch den Konditional (oder Subjunktor) (→), gelesen ‘p impliziert q’ oder ‘p Pfeil q’ oder ‘wenn p, dann q’. Die Implikation ist nur falsch, wenn der Vordersatz wahr, der Nachsatz jedoch falsch ist; in allen anderen Fällen ist sie wahr. Z.B. ist die komplexe Aussage
‘wenn der Präsident anwesend ist, ist der Kanzler abwesend’nur dann falsch, wenn der Präsident anwesend ist, der Kanzler aber auch. Daß die Implikation wahr ist, wenn beide Aussagen zutreffen, leuchtet leicht ein. Wenn der Vordersatz falsch ist, ist sie wahr; die Implikation behauptet eine Abhängigkeit des Nachsatzes vom Vordersatz nur für den Fall, daß dieser zutrifft. Die Wahrheitswerttafel ist daher die folgende:
| p | q | p → q |
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | w |
| f | f | w |
Die Implikation hat eine erhebliche Bedeutung für Schlußverfahren, für die wissenschaftliche Theoriebildung und Methodik.
Replikation
Die Replikation von zwei Aussagen ist ihre Verbindung durch den Linkspfeil (←), gelesen ‘q nur wenn p’ oder ‘p ist notwendig(e Bedingung) für q’. Die Replikation ist nur falsch, wenn der Vordersatz falsch, der Nachsatz jedoch wahr ist; in allen anderen Fällen ist sie wahr. Z.B. ist die komplexe Aussage
‘nur wenn Erna eine Magisterarbeit schreibt, bekommt Erna den Magistertitel’nur dann falsch, wenn Erna den Magistertitel bekommt, ohne eine Magisterarbeit geschrieben zu haben. Daß die Replikation wahr ist, wenn beide Aussagen zutreffen, leuchtet leicht ein. Wenn der Vordersatz wahr ist, ist sie wahr (das Schreiben einer Magisterarbeit garantiert noch keinen Magistertitel). Die Wahrheitswerttafel ist daher die folgende:
| p | q | p ← q |
| w | w | w |
| w | f | w |
| f | w | f |
| f | f | w |
Die Replikation ist die angemessene aussagenlogische Darstellung für zahlreiche natürlichsprachliche Konditionalsätze, ist aber für die wissenschaftliche Theoriebildung von untergeordneter Bedeutung, weil sie leicht als Umkehrung der Implikation definierbar ist.
Äquivalenz
Die Äquivalenz zweier Aussagen ist ihre Verbindung mit dem Junktor ‘↔’ (oder ‘=’). Sie wird gelesen als ‘p genau dann, wenn q’ (oder umgekehrt). Sie ist wahr genau dann, wenn die beiden Teilaussagen denselben Wahrheitswert haben. Z.B. ist der Satz
‘Neujahr fällt auf einen Donnerstag genau dann, wenn Weihnachten auf einen Donnerstag fällt’dann falsch, wenn zwar der eine, nicht aber der andere Tag auf einen Donnerstag fällt; sonst jedoch ist sie wahr. Die Wahrheitswerttafel ist daher die folgende:
| p | q | p ↔ q |
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | w |
Die Äquivalenz ist die Relation, welche in einer Definition das Definiendum und das Definiens miteinander verbindet. Auch in den Definitionen dieser Webseite heißt es immer wieder ‘genau dann, wenn’ (abgekürzt ‘gdw.’; engl. if and only if, abgekürzt iff).
Kontravalenz
Die Kontravalenz zweier Aussagen ist ihre Verbindung mit dem ausschließenden ‘oder’ (‘X’ oder ‘⊻’ oder ‘>‐<’). Sie wird gelesen als ‘entweder p oder q’ (oder umgekehrt). Sie ist wahr genau dann, wenn die beiden Teilaussagen den entgegengesetzten Wahrheitswert haben. Z.B. ist der Satz
‘entweder Kai ist männlich, oder Kai ist weiblich’genau dann wahr, wenn Kai ein gewöhnlicher Mensch ist; ist Kai jedoch ein Hermaphrodit oder ein Neutrum, so ist sie falsch. Die Wahrheitswerttafel ist daher die folgende:
| p | q | p X q |
| w | w | f |
| w | f | w |
| f | w | w |
| f | f | f |
Exklusion
Die Exklusion zweier Aussagen ist ihre Verbindung mit dem ausschließenden ‘oder’ (‘/’). Sie wird gelesen als ‘nicht zugleich p und q’. Sie ist wahr genau dann, wenn nicht beide Teilaussagen wahr sind. Z.B. ist der Satz
‘Kai ist höchstens (entweder) Bundespräsident oder Bundeskanzler’genau dann falsch, wenn Kai sowohl Bundespräsident als auch Bundeskanzler ist; ist er (oder sie) jedoch nur eins von beiden, oder keines von beiden, so ist der Satz wahr. Die Wahrheitswerttafel ist daher die folgende:
| p | q | p / q |
| w | w | f |
| w | f | w |
| f | w | w |
| f | f | w |
Schlußbemerkung
Ich habe die diversen Junktoren durch deutsche Konjunktionen übersetzt und die durch sie gebildeten komplexen Aussageformen mit natürlich-sprachlichen Beispielen illustriert. Dies ist potentiell irreführend, insofern natürlich-sprachliche Ausdrücke oft ganz andere Eigenschaften als die hier interessierenden haben. Die Beispiele dienen also nur der Illustration und daher manchem vielleicht zum leichteren Verständnis. Sie dürfen aber nicht zu dem Schluß verleiten, als seien die aussagenlogischen Junktoren durch die Bedeutung deutscher Wörter wie und, oder usw. definiert. Ein Junktor ist allein durch das Muster der vier Wahrheitswerte definiert, die sich für die komplexe Aussage in der rechten Spalte der obigen Tafeln ergeben, wenn man die Wahrheitswerte der Einzelaussagen in der konventionellen Weise aufführt.